Espérance des différentes formules de paris sportifs


L'espérance mathématique est l'outil de calcul mathématique qui permet de quantifier la rentabilité, ou non, d'un pari hasardeux, des paris sportifs en particulier.
En se remettant purement au hasard (sans information extérieure, tipster efficace, …) cette espérance est en théorie nulle (c'est de là que vient le calcul même des cotes) , et en pratique négative car des intermédiaires comme les bookmakers prélèvent en plus leur commission.
Pour cette raison, tout le monde recherche des stratégies et formules de paris gagnantes, c'est-à-dire dont l'espérance est positive. On peut citer les plus connues et courantes: Nous allons voir qu'aucune de ces méthodes ne change l'espérance en réalité: quelque soit la manière de parier, l'espérance du jeu simple est conservée; sur le long terme, un nombre important de paris, le gain total sera approximativement le même.


Espérance pour la martingale classique tronquée

Quelque soit notre capital de mises, notre bankroll, on ne peut supporter une suite infinie de pertes dans une martingale.
Prenons par exemple la martingale classique doublante: on initie notre martingale avec par exemple 1 euro et en double à chaque perte notre mise.
Avec une partie, on a 1 chance sur 2 de gagner 1 euro et une chance sur 2 de perdre notre euros (donc une cote = 2). L'espérance est simplement nulle: sur un grand nombre de parties, notre gain moyen sera approximativement nul, pas de gain ni perte non plus.
Revenons à la martingale et disons qu'on ait une bankroll de 10 euros: avec une mise de départ de 1 euros on ne peut donc pas perdre plus de 3 fois d'affilée, soit la perte de 1+2+4 = 7 euros, et cela arrive avec la probabilité p = 1/23 = 1/8 . Dans tous les autres cas, on gagne 1 euros.
On a donc le tableau des gains et probabilités associées (qui s'appelle la loi de probabilité):
Gain1−7
Probabilité7/81/8
et on calcule facilement l'espérance:
E = 1×7/8 + (−7)×1/8 = 0
et l'espérance et donc la même avec la martingale qu'en jouant simplement au jeu une fois.

Maintenant, ne pas pouvoir prévoir plus de 3 pertes consécutives sur une martingale est une vraie erreur du parieur (lire à ce sujet diversifier ses stratégies !; il est aberrant de parier en une mise 10% de sa bankroll…).
La probabilité de perte à une martingale diminuant de plus clairement avec le nombre de tours, on a envie de penser qu'en se laissant plus de marge sur la martingale, l'espérance va monter. Il n'en est rien !
Disons par exemple maintenant qu'on peut se permettre de perdre 10 fois consécutives à notre martingale doublante. La probabilité d'une telle perte est maintenant de
p = 1/210 ≃ 0,001 = 0,1%
Cette probabilité est bien faible, mais la perte dans ce cas est aussi plus conséquente:
1 + 2 + 4 + … + 512 = 1023 ≃ 1000 euros
et le nouveau tableau des gains et probabilités associées (loi de probabilité):
Gain1−1000
Probabilité0,9990,001
et on calcule la nouvelle espérance:
E = 1×0,999 + (−1000)×0,001 = 0
et l'espérance reste donc encore nulle.

Ces deux calculs se généralisent: quelque soit la bankroll et le nombre de pertes consécutives qu'on est prêt à supporter, l'espérance reste définitivement nulle !
Mettre en place une martingale ne change pas l'espérance, c'est-à-dire le gain sur le long terme


Tout ne revient pas au même pour autant. L'écart type change lui par contre en fonction de la bankroll disponible: mettre en place une martingale ne change l'espérance mais change par contre le risque: on peut s'attendre à gagner ou perdre passagèrement des sommes plus importantes.

Paris combinés

Autre formule de paris: le pari combiné qui consiste à regrouper plusieurs paris en un seul, avec une seule mise. Les cotes des paris assemblés sont alors multipliées entre elles, ce qui donne une cote globale attractive. Par exemple, misons 10 euros sur la combinaison des 3 paris: Si je gagne, je remporte 10×1,5×1,8×1,7=45,9 euros, soit un gain net de 35,9 euros, avec la cote globale alléchante de 1,5×1,8×1,7=4,59.
Les probabilités de gain de ces 3 paris sont respectivement 1/1,5≃66%, 1/1,8≃55%, et 1/1,7≃59%, et la probabilité de remporter le combiné, donc les 3 paris simultanément est donc d'environ 66%×55%×59% ≃ 21% .
Comme avant, on dresse la tableau des gains et probabilités:
Gain−1035,9
Probabilité79%21%
et on calcule l'espérance mathématique:
E = −10×79% + 35,9×21% ≃ 0
et l'espérance reste nulle.
En d'autres termes, le pari combiné ne change pas l'espérance mais modifie la répartition des gains. En pariant sur les paris séparemment et indépendamment le gain sera en moyenne plus faible, mais plus fréquent que dans le pari combiné. Le calcul de l'espérance montre que ce changement de répartition n'apporte aucun gain sur le long terme.
Les paris combinés sont des leurres qui stimulent l'envie de parier par des cotes plus attractives. "stimuler" l'envie de parier ? c'est le job des bookmakers … (qui y prélèvent, ce qui n'est pas compté dans les calculs précédents, une commission supplémentaire en proposant des paris combinés).

Comme pour les martingales, combiner des paris ne change pas l'espérance, c'est-à-dire le gain à long terme.
Seul le risque évolue et, avec, d'éventuels gains importants (mais donc, mathématiquement, exactement compensé sur le long terme par des pertes équivalentes).
Ce genre de formule est donc un outil de premier choix pour qui cherche à inciter des parieurs: de l'enjeu et des gros gains en perspectives (sans risque pour le bookmaker)


Remboursé si

Autre formule de pari: la formule remboursé si qui permet en apparence de "sécuriser un pari" en distribuant la mise globale sur deux issues.
Par exemple, je souhaite parier 10 euros sur un match où mon équipe favorite va gagner, c'est sûr ! enfin presque sûr… enfin disons que je n'aimerais pas voir un match nul pas si improbable que cela…
Les cotes sur ce match sont: 1,9 pour la victoire et 4 pour le match nul.
Que faire ?
À l'aide du simulateur je vois que je peux répartir mes 10 euros de mise selon: La peur du match nul "pas si improbable" disparaît, je n'ai plus rien à craindre.
Regardons le tableau des gains et probabilités correspondantes
Gain4,250−10
Probabilité53%25%22%
et on calcule l'espérance mathématique:
E = 4,25×53%+0×25% −10×22% ≃ 0
et l'espérance reste nulle de même que pour le pari classique sans Rembourse si dont le tableau des gains est
Gain9−10
Probabilité53%47%
et l'espérance de même nulle:
E = 9×53% −10×47% ≃ 0


À nouveau cette formule Remboursé si ne change pas l'espérance, qui reste nulle (moins encore les marges des intermédiaires). On redistribue seulement les gains afin d'atténuer les risques. C'est en fait l'écart type qui diminue ici.
Sur le long terme, multliplier les paris Remboursé si ne change pas les gains moyens.

Comme pour les formules précédentes, la formule Remboursé si n'affecte pas l'espérance et donc les gains à long terme.
Par contre le risque (l'écart type, mathématiquement) est par contre bien atténué, d'où l'intérêt, à court terme donc, de la formule.


double chance

La formule double chance fonctionne un peu comme la formule Remboursé si, sauf qu'on ne cherche pas à rembourser sa mise sur une deuxième issue, mais on répartit les mises comme dans un surebet afin d'empocher un gain net dans les deux issues.
En reprenant l'exemple utilisé pour la formule remboursé si dans le paragraphe précédent, en utilisant le simulateur double chance je vois que je peux répartir mes 10 euros de mise selon: Ainsi, ici je suis gagnant pour la victoire et le match nul, d'un gain net de 2,88 euros.
Le tableau des gains et probabilités est maintenant
Gain2,88−10
Probabilité78%22%
et l'espérance
E = 2,88×78% −10×22% ≃ 0
reste nulle.
On ne change toujours pas l'espérance de gain sur le long terme, même si la formule est attractive: dans la répartition des gains, on a transformé une partie des pertes en gain ! mais en contrepartie ce gain est plus faible… et cela se compensera exactement sur le long terme…

Comme pour les formules précédentes, la formule Double chance n'affecte pas non plus l'espérance et donc les gains à long terme.
Le risque est par contre ici encore diminué par rapport à la formule Remboursé si, d'où à nouveau l'intérêt, à court terme donc, de la formule.


Voir la preuve mathématique complète dans le cas général et le calcul de l'espérance d'un pari double chance.

Trixie

Pour finir, la formule trixie est une alternative très encouragente au paris combiné triple qui est, lui, normalement déconseillé car très risqué (et on a vu ici en plus, qu'il n'apportait rien sur le long terme, son espérance restant nulle).
Un pari trixie est une formule hybride (un pari multiple ou système dans la terminologie des paris sportifs): il s'agit d'un pari combiné triple allié à une formule sécurisante remboursé si: En adaptant correctement les 4 mises, ce que permet de faire automatiquement ce simulateur je peux faire sen sorte de gagner le pactole si mon combiné triple se réalise, et de me rembourser ma mise globale si un des trois paris est perdu (donc le combiné triple avec).
Le simulateur permet de calculer correctement les mises et les gains et probabilités correspondantes.
Encore une fois, et c'est le but de la partie "Remboursé si" on transfère une partie des pertes en gain, en atténuant en contrepartie le gain principal du combiné triple.
Le calcul de l'espérance montre alors que, systématiquement, celle-ci reste nulle (et il faudrait encore y retirer les différentes marges des intermédiaires…).


Comme d'habitude maintenant, cette formule n'affecte pas l'espérance et n'apporte rien sur le long terme, mais diminue l'écart type, c'est-à dire le risque pris, à court terme, dans un tel pari.


Voir la preuve mathématique complète dans le cas général et le calcul de l'espérance d'un trixie.

Conclusion

On a parlé de hasard pur tout au long de cette page. Dans ce contexte, il n'existe pas de formule qui permette de modifier l'espérance: les cotes sont faites justement pour que l'espérance soit nulle (négative plus exactement, car les intermédaires, comme le bookmaker, prélèvent encore une marge).
Ce résultat général, à savoir "aucune méthode de paris ne change l'espérance, à long terme d'un jeu de hasard", a été bien étudiée par Richard Arnold Epstein, spécialiste de la théorie des jeux, dans "The Theory of Gambling and Statistical Logic":

"If a gambler risks a finite capital over many plays in a game with constant single-trial probability of winning, losing, and tying, then any and all betting systems lead ultimately to the same value of mathematical expectation of gain per unit amount wagered."

ce qu'on peut traduire par

"Si un joueur risque un capital fini sur de nombreux jeux dans un jeu avec une probabilité constante de gain, de perte et d'égalité à un seul essai, alors tous les systèmes de pari conduisent finalement à la même valeur d'espérance mathématique de gain par montant unitaire misé."


En résumé, on ne renverse pas, par aucune stratégie ou formule, le hasard à son profit !


En résumé encore, toutes les formules proposées permettent d'adapter sa manière de parier, la recherche d'une formule mathématique permettant de gagner à tous les coups, ou sur le long terme, est illusoire !

Tout n'est pas désespéré pour autant car les paris sportifs ne sont pas des jeux de hasard pur, et de nombreuses informations permettent d'orienter les pronostics vers des value bets qui sont justement par définition des paris à espérance positive c'est-à-dire gagnants sur le long terme.
Il existe ainsi de nombreuses formules, méthodes et stratégies de paris dans des paris sportifs qui permettent d'assurer, ou sécuriser ses mises et augmenter ses gains.
Par exemple, la méthode 2 sur 3, si elle ne déroge pas à la règle en ne modifiant pas l'espérance de gain, permet d'assurer clairement de gagner bien plus souvent. De même, cette astuce sur les paris combinés illustre complètement à nouveau tous ces propos: l'espérance n'est toujours pas modifié, mais la formule permet d'utiliser pleinement des value bets sûr en augmentant leur cote et diminuant clairement la probabilité de perte, en donnant bien plus de facilité aux pronostics, même moins précis.

Voir aussi: