Espérance mathématique & gain à long terme
Intuitivement, ou familièrement, l'espérance mathématique est la valeur que l'on s'attend à obtenir, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. La formule mathématique est celle du calcul de la moyenne pondérée d'une série statistique.
Exemple: mise et gains avec un jeu de dé
Considérons par exemple le jeu suivant: on mise un euro et on lance un dé à six faces équilibré et- si on obtient un 6 on gagne 5 fois notre mise
- si on obtient un 5 on gagne 2 fois notre mise
- sinon, on perd notre mise
En effet il y a beaucoup de cas où on perd notre mise, mais on gagne "beaucoup" lorsqu'on gagne. Comment cela se compense ou s'équilibre-t-il ?
L'espérance mathématique se calcule comme la moyenne pondérée par les probabilités (1/6 pour un dé équilibré).
Formule mathématique de calcul de l'espérance
Dans le jeu précédent, on mise par exemple 1 euro, et alors:| Gain (euros) | 5 | 2 | 0 |
| Probabilité | 1/6 | 1/6 | 4/6 |
E =
1/6×5 + 1/6×2 + 0×4/61/6 + 1/6 + 4/6
et comme la somme des probabilités vaut toujours 1, on a toujours la formule simplifiée et le résultat:
E =
1/6×5 + 1/6×2 + 0×4/6
≃ 1,16
et on espére donc gagner en moyenne environ 1,16 centimes par partie sur un nombre important de parties, soit 0,16 centimes de gains nets, c'est-à-dire de gain en plus de notre mise investie.
Ce jeu n'est donc pas équilibré, et il est favorable au joueur qui mise. Sur 100 parties, le parieur peut espérer gagner environ 16 euros.
Pour répondre à la question posée: oui, je jouerais à ce jeu, et un grand nombre de fois de préféfence !
La calculette suivante simule ce jeu aléatoire.
Simulation du jeu aléatoire et des gains
Le simulateur suivant simule, au hasard, un jeu avec n résultats possibles (3 dans l'exemple précédent du dé), et pour lequel on peut librement indiquer le gain associé à chaque résultat ainsi que la probabilité du résultat en question.On visualise ainsi, sur un certain nombre de parties simulées au hasard, le gain qu'on peut espérer.
Plus le nombre de parties augmente, plus le gain total se stabilise autour de l'espérance mathématique: pour un grand nombre de parties, on ne doit pas s'attendre à un gain (ni une perte) très importante par rapport à l'espérance calculée.
Voir aussi: