Grand oral du bac: un sujet sur les paris sportifs

A l'aide entre autre de la page bien comprendre le lien entre cotes et probabilités.
En effet, cotes et probabiltés sont l'inverse l'une de l'autre: mais pourquoi cette relation mathématique ?
Dans ce sujet de maths de grand oral, il s'agira de

• introduire et définir les paris sportifs: généralités et spécificités et surtout ce qu'est une cote
• introduire et définir de manière vulgarisée et mathématique le concept d'espérance mathématique en probabilité dans un jeu aléatoire
• faire le lien entre cote et probabilité pour un jeu équilibré
• enfin parler de la marge du bookmaker et de ses conséquences pour le parieur inexpérimenté

Dans cet exemple de sujet de grand oral maths, on pourra distinguer plusieurs parties essentielles:

• introduire et définir les paris sportifs: généralités et spécificités
• définir de manière vulgarisée et mathématique le concept d'espérance mathématique en probabilité dans un jeu aléatoire
• cibler 2 ou 3 stratégies de mise dans les paris sportifs parmi celles listées ici: les présenter, les détaillées, les vanter, …
• appliquer à chacune de ses formules de paris sportifs le calcul mathématique de l'espérance et montrer ainsi le résultat fondamental: aucune de ces méthodes ne change l'espérance
• Discuter sur la spécifité des paris sportifs (autres facteurs à prendre en compte, comme des facteurs humains, sportifs, …) qui rendent néamoins possibles de dégager des bénéfices dans les paris sportifs

Autre version du sujet de grand oral précédent: on parle aussi d'espérance, on montre mathématiquement qu'elle est nulle en théorie pour toutes les formules et stratégies, mais que celles-ci permettent néanmoins de diminuer le risque (donné par l'écart type mathématique).
Ainsi, avec de l'expérience, des connaissances, un bon (ou pas trop mauvais cela suffit) tipster, on peut éspérer un petit pourcentage de gain pourcentage systématique, et donc une augmentation exponentielle de notre bankroll (qui suit alors, mathématiquement, une suite géométrique).

Une martingale est une stratégie de mise sur plusieurs coups, tenant compte en particulier des résultats précédents.
Le principe est connu depuis assez longtemps et les martingales apparaissent, de manière bien trompeuse, comme un moyen infaillible pour gagner. Ceci sans une étude mathématique plus approfondie comme on peut la faire avec des outils mathématiques élaborés comme ceux développés en terminale (et après).
Un sujet intéressant de grand oral en maths peut donc être d'expliquer le principe d'une martingale en convaincant donc le jury dans une première partie de son caractère miraculeux pour un parieur, puis dans une deuxième partie de dévoiler les failles mathématiques (calculs d'espérance, de probabilité de gain, de probabilité d'avoir à miser plus de notre bankroll, …) qui rendent les martingales dangeureuses, voire inutilisables.
Tout ceci en théorie.
Enfin, dans une troisième et dernière partie, l'application pariculière aux paris sportifs pourra montrer la puissance d'une martingale adaptée à un contexte particulier (les paris sportifs par exemple) et maîtrisée (comme la martingale sur un perdant ou la martingale sur des matchs nuls).

C'est vrai: ni le bookmaker, ni les parieurs ne sont sûr du résultat d'un événement … et le bookmaker pourrait aussi subir "bad run" ou série noire de pertes et donc faire faillite ! mais cela n'arrive jamais, et les bookmakers s'enrichissent clairement … sur le dos du hasard …
La différence mathématique entre un parieur et un bookmaker: la loi des grands nombre (au programme de terminale générale en maths).
Une bonne idée donc de grand oral spé maths.

Une partie du grand oral se veut résolument tournée vers l'orientation et l'avenir, étudiant et professionnel, du candidat.
Pourquoi pas aborder les métiers autour des paris sportifs, comme celui de trader en paris sportif.
Il s'agira alors d'aborder par exemple la relation entre cotes et probabilités puis le TRJ (Taux de Redistribution aux joueurs) et donc la marge du bookmaker.
En particulier, l'oral pourra être axé sur la problématique, ou une autre idée de sujet: "pour le bookmaker gagne-t-il toujours ?" En effet, ceci n'est vrai que pour deux raisons: les probabilités, et le travail correct des traders en paris sportifs du bookmaker.

Le critère de Kelly peut constituer un bon fond pour un sujet de grand oral. Il faut dans ce cas bien sûr bien approfondir sa démonstration mathématique qui constitue alors le fond technique et mathématique qui est assez riche pour le programme de terminal puisqu'elle contient: probabilités, suite géométrique, et optimisation via la dérivée et étude de fonction.
On peut en faire un sujet transversal maths & économie en considérant la formule de Kelly telle qu'elle a été originellement formulée par Kelly, non pas pour les paris sportifs, mais pour des placements financiers quelconques. La démonstration complète peut alors être trouver à cette page.

Comment à partir des statistiques de deux joueurs ou deux équipes par exemple peut-on tenter de prédire le résultat de leur rencontre à venir ?
Tout d'abord quelques mots sur la loi des grands nombres, qui permet justement le passage de statistiques observées et mesurées à des probabilités.
Deuxièmement: naïvement, plus un joueur aura gagné auparavant plus ses chances de gagner le prochain match augmentent… mais comment calculer et quantifier cela ?
D'autant plus que les joueurs ou équipes ne se sont pas forcément déjà beaucoup rencontrés: on a des stats sur des matchs avec d'autres.
Il faut pour répondre à cette question, classer les joueurs. Il existe bon nombre de sytèmes de classement de joueurs ou d'équipes, cela peut faire l'objet d'une partie même du sujet de grand oral. Des systèmes de classement par points sont le plus généralement utilisés: on gagne des points à chaque victoire, on en perd à chaque défaite: mais comment relier ces points aux chances de victoires futures ?
Parmi tous ces systèmes de classement, le système de classement Elo est un système mathématique qui est conçu justement pour répondre à notre question: l'écart de calssement entre deux joueurs donne directement la probabilité de victoire et défaite de chacun.
Une partie technique de grand oral sur le Fonctionnement, calculs et construction mathématique du système de classement Elo (en anglais) (ou une version en français), parlant notamment de probabilités conditionnelles, logarithme et exponentielle, sera alors le cœur mathématique du sujet de grand oral.