Preuve du critère de Kelly

Démonstration mathématique de la formule de Kelly


Dans une succession de paris sportifs risqués, l'utilisation du critère de Kelly conduit en théorie à une bankroll plus élevée que toute autre stratégie à long terme. Cette formule donne le rendement maximal théorique sur l'ensemble des paris.
Cette formule mathématique donne à chaque pari sportif, en fonction de sa cote et la probabilité de victoire qu'on estime, la part de sa bankroll à miser. Une calculatrice permet de calculer cette formule automatiquement.
Cette formule est généralement citée et utilisée sans beaucoup de détails.
L'objet de ce qui suit est de détailler les éléments mathématiques qui prouve cette formule (dans la même idée que l'ensemble de ce site).

Formule mathématique de Kelly

Des détails sur cette formule mathématique et son utilisation sont à la page précédente.
Pour rappel, le critère de Kelly est la formule mathématique
f * = p − q/c − 1
où

Preuve mathématique de la formule de Kelly

L'étude et la preuve complète de la formule du critère de Kelly peuvent être trouvées dans sa bibiliographie, notamment "A New Interpretation of Information Rate" puis, par E.O. Thorp, un de ses successeurs, dans "Optimal Gambling Systems for Favorable Games".
On en donne ici une version simplifiée, un peu moins rigoureuse, et adpatée aux paris sportifs (la version de Kelly considère des investissements risqués plus généraux), afin de pouvoir mieux appréhender cette formule et son fonctionnement.
Tout d'abord, comme on l'a utilisé par exemple pour obtenir une formule simplifiée de la détection de surebet, pour une cote c on note t le taux de gain net qui lui est relié par
c = 1 + t
Par exemple, avec une cote c = 2,2 on a un taux de gain net t = 1,2: si on mise par exemple 10 euros, on gagne 10 × 2,2 = 22 euros brut, soit donc un gain net, hors mise, calculé de 10 × 1,2 = 12 euros.
C'est ce taux net qui apparaît dans la formule de Kelly: t = c − 1

Variation pour un gain ou une perte

On possède un capital, ou une bankroll, W (pour "Wealth", qui se traduit par richesse, dans le jargon de Kelly) dont on mise une fraction f.
Par exemple: une bankroll de W = 20€ et de laquelle on mise une part f = 10%, soit une mise de m = W×f = 2€ à la cote c = 1,6 (par exemple aussi).
Hors mise, ma bankroll restante est
Wm = W − W×f
soit
Wm = W(1−f) = 18€
En résumé, lorsque je perd, mon capital est multiplié par 1−f tandis que lorsque je gagne, mon capital est multiplié par 1+ft.


Taux sur plusieurs mises successives

On s'intéresse maintenant en fait à calculer et obtenir la meilleure augmentation du capital sur un ensemble de mises et pertes/gains: c'est le long terme qui nous intéresse.
Disons par exemple que je mise T fois successivement en tout parmi lesquelles je gagne N fois et perd M fois, avec bien sûr T = N+M.
L'ordre des victoires et pertes n'importe pas et à chaque victoire je multiplie mon capital par 1+ft et à chaque défaite je multiplie par 1−f. En tout, en partant du capital W0, avec N victoires et M défaites, mon capital devient
WT = W0(1+ft)N(1−f)M
Le taux géométrique moyen r est le taux constant à chaque mise et qui permet la même variation globale, c'est-à-dire tel que
WT = W0 (1+r)T
On a donc, en comparant et identifiant ces deux dernières expressions algébriques
(1+r)T = (1+ft)N(1−f)M
ou encore en prenant la racine n-ième:
1+r = (1+ft)N/T(1−f)M/T
Maintenant, en revenant à la signification des paramètres, la fraction N/T est le ratio entre le nombre N de paris gagnés et le nombre T de paris au total. Ce ratio tend vers la probabilité p de victoire sur un grand nombre T de paris.
De même l'autre fraction M/T est le ratio du nombre de défaites et tend vers q = 1−p.
On trouve donc le taux géométrique moyen asymptotique, c'est-à-dire pour un grand nombre de mises, lorsque T tend vers l'infini,
1+r = (1+ft)p(1−f)q
soit
r = (1+ft)p(1−f)q − 1

Graphique: variation du taux

La courbe représentant le taux géométrique moyen trouvé ci-dessus en fonction de la fraction f de la bankroll investie est représentée graphiquement ci-dessous. On peut y faire varier à loisir les paramètres: probabilité esitmée de victoire et cote, et observer la présence d'un maximum (dont on peut comparer la valeur avec celle fournie par la calculatrice de Kelly).



Votre navigateur ne semble pas assez récent pour afficher ce graphique...
Variation du taux de retour r en de la part de capital misée f

Détermination de l'optimum

On continue la démonstration mathématique, et on cherche maintenant à calculer exactement la fraction f * qui donne le taux de retour, ou taux géométrique moyen, maximum.
On considère pour cela le taux géoémtrique moyen r trouvé précédemment comme une fonction de la part f misée. Mathématiquement, pour trouver les variations et les valeurs extrêmes (maximums et minimums), on calcule la fonction dérivée:
r' = dr/df = pt(1+ft)p−1(1−f)q − q(1+ft)p(1−f)q−1
soit encore, en factorisant par l'expression de r
r' = r pt/ 1+ft − q/ 1−f
On cherche alors la valeur critique f * telle que cette dérivée soit nulle, soit
pt/ 1+f *t − q/ 1−f * = 0 ⇔ pt(1−f *) = q(1+f *t)
On se rappelle alors que les probabilités p et q de victoire et défaite sont reliées par p = 1−q et l'expression précédente se réécrit alors
pt(1−f *) = (1−p)(1+f *t)
soit, après avoir développé, ordonné, et isolé le terme recherché:
f *t = pt − (1 − p) = pt−q
soit finalement
f * = p − q/t
ou encore, en se rappelant que c = 1+t ⇔ t = c−1 on trouve la formule mathématique attendue
f * = p − q/c − 1

Simulation numérique et comparaison

La formule de Kelly donne donc la proportion optimale de bankroll à miser pour un rendement global maximum. Sur la page suivante des Simulations et comparaisons, avec ou sans le critère de Kelly sont effectués sur le long terme. Une illustration numérique de l'efficacité du critère de Kelly.


Autres articles: