Critère de Kelly

Combien faut-il miser: formule pour déterminer la mise optimale

La recherche de gains sur le long terme est équivalente à celle de value bet.
Maintenant qu'on sait ce qu'est un value bet, et qu'on a des idées pour les repérer, reste la question: combien faut-il miser sur un pari ?
Plus le pari nous semble sûr, plus on devrait miser une somme importante. C'est un 1er point.
Par ailleurs, même si le pari ne nous semble pas des plus assurés, mais que la cote est élevée, là aussi on a tout intérêt à miser gros.
Enfin, tout ceci est évidemment conditionné par notre capacité de mise, notre bankroll.

Comment donc estimer alors la juste part de notre bankroll à investir ? en fonction de la cote et de la probabilité qu'on estime pour l'événement.
La réponse exacte à tout ceci est donnée par la formule mathématique, aussi connue sous le nom de critère de Kelly.

Formule mathématique de Kelly

John Larry Kelly, Jr. est un scientifique américain (1923 - 1965) qui a travaillé notamment sur la théorie de l'information et la théorie des jeux. Il a établi en particulier le critère, connu maintenant sous le nom de critère de Kelly, qui relie la part de richesse à investir, dans un investissement risqué, de manière à en maximiser le taux de retour.
L'utilisation du critère de Kelly conduit à un capital, ou bankroll, plus élevé qu'avec toute autre stratégie à long terme: il donne donc le rendement maximal théorique sur l'ensemble des paris.
Cette formule peut être écrite selon le calcul mathématique suivant:

f ^* = p − q/c − 1

où

p est la probabilité de la victoire estimée
q = 1 − p est la probabilité de perte estimée
c est la cote de la victoire

Voir aussi les détails et preuve mathématiques de cette formule.

Calculateur critère de Kelly

Fraction de la bankroll à miser:	f ^* = %
Mise à parier	m^* = €

Cas particuliers

Quelques cas particuliers, revus par la formule de Kelly

si p = 100%: on considère que l'événement sur lequel on parie est sûr à 100%. Dans ce cas on a logiquement f ^* = 100 %.
En d'autres termes, si on est catégoriquement sûr de gagner, on doit miser tout ce qu'on peut, tout ce qu'on a.
si p = 1/c, alors on trouve que f ^* = 0.
Si la probabilité qu'on estime avoir de gagner est celle qui correspond à la cote fournie, alors on ne doit pas miser.
On retrouve ici que ce cas correspond à la définition même de la cote et conduit à une espérance de gain nulle: sur le long terme aucun gain a espérer ici, et inutile donc de parier et miser.
La formule de Kelly nous indique qu'on doit miser une fraction f ^*> 0 lorsque p>1/c, c'est-à-dire lorsque la probabilité estimée est plus grande que celle associée à la cote (celle du bookmaker donc): cela s'appelle une situation de value bet.
On retrouve ici qu'on ne doit miser que dans une situation de value bet…
La formule de Kelly est donc un complément quantitatif de la notion de value bet: la détermination de la situation de value bet indique quand on doit miser, et la formule de Kelly précise alors le montant de la mise à parier dans ce cas.
Si on calcule que f ^*< 0, c'est que non seulement on ne doit pas miser, mais surtout qu'on devrait miser sur l'événement contraire qui, lui, est plus probable.
On échange alors les valeurs des probabilités p et q ainsi que la valeur de la cote c.

Limite de la formule, inconvénients

Le point faible, inconvénient indéniable, de cette formule se trouve dans l'estimation de la probabilité p. La difficulté est exactement la même que pour identifier un value bet: comment savoir qu'une équipe ou un joueur a 82% de chances de gagner ?
Sans une évaluation mathématique et numérique précise de cette probabilité, le résultat donné par cette formule de Kelly est tout aussi peu précis… Néanmoins, bien qu'outil imprécis, cela n'en reste pas moins un outil qui permet d'orienter la décision du parieur dans une bonne direction: doit-on parier très peu, ou au contraire est-ce une situation très favorable ?

De plus, pour aboutir à cette formule, on suppose que la probabilité p de victoire à chaque pari reste la même constante, ce qui est critiquable, voir les détails mathématiques qui permettent d'aboutir à cette formule.

Intérêt réel de la formule de Kelly ?

L'utilisation de la formule de Kelly permet d'obtenir le rendement maximal théorique. On peut l'observer par exemple en comparant son utilisation sur le long terme avec d'autres stratégies.
Par contre, d'un point de vu pratique, vu ses limitations et la difficulté pour l'appliquer (en particulier estimer réellement la probabilité de victoire), la formule de Kelly peut sembler quelque peu vaine, inefficace, inutilisable, …
Elle ne l'est pas !

Dans un premier temps, elle montre clairement le point sensible de toute forme de pari: l'estimation réelle de la probabilité de gagner. C'est sur ce point que tout parieur doit focaliser son énergie. Sans cette estimation, la formule de Kelly est inopérante, certes, mais sans cette estimation aussi un parieur ne pari en fait que a priori, selon son ressenti et non pas mathématiquement.
Deuxièmement, cette formule doit être vue comme très utile, pour un investisseur ou parieur quelconque, afin de cadrer ses mises: éviter un optimisme démesuré par excès d'enthousiasme et une mise exagéremment élevée, tout aussi bien, à l'inverse, que de ne pas verser dans un pessimisme qui limiterait à des mises exagérement basse même dans une situation réellement avantageuse.

Autres articles: