Cotes et probabilités

Il est important de bien comprendre le lien entre la cote d'un événement, qui permet de calculer le gain en cas de succès, et la probabilité qu'a ce succès d'arriver, c'est-à-dire le lien mathématique entre ce qu'on peut gagner et les chances qu'on a de le gagner.
L'espérance mathématique est l'outil de calcul fondamental pour tous les jeux aléatoires, donc pour tous les parieurs, tradeurs, mais aussi de l'autre côté pour le bookmaker qui est celui qui propose la cote d'un événement (après l'avoir savamment calculée, justement, selon des probabilités).

Pile ou face basique - Pari équilibré

Prenons l'exemple de base, mais fondamental, d'une pièce bien équilibré. On mise disons 1 euro. Si le résultat est Pile, on gagne 2 euros sinon on perd notre mise et on repart avec 0 euro.

	Pile	Face
Gain (euros)	2	0
Probabilité	50%	50%

et l'espérance est alors le calcul mathématique de la moyenne pondérée par les probabilités:

E = 2×50% + 0×50% = 1

Ce jeu est équilibré: en moyenne, sur un grand nombre de parties, on ne gagne ni perd rien.

La cote est le nombre par lequel est multipliée la mise investie lorsque le parieur remporte son pari. Elle est ici de 2: il mise 1 euro et en gagne 1×2 en cas de victoire.

Pile ou face pipé - Pari déséquilibré

On modifie légèrement le jeu précédent. Disons que cette fois la pièce donne Pile dans 40% des cas. Si on garde la même règle qu'avant: on double notre mise en cas de gain et on la perd en cas de défaite, on a alors

	Pile	Face
Gain (euros)	2	0
Probabilité	40%	60%

et l'espérance mathématique devient

E = 2×40% + 0×60% = 0,8

qui est inférieur à la mise: en moyenne, ce jeu est défavorable au joueur qui perdra quelques 20 centimes par parties (en moyenne sur un grand nombre de parties). La cote de 2 pour la victoire (Pile) ne suffit pas à compenser sa plus faible probabilité.

Quelle cote faut-il mettre à Pile pour rééquilibrer ce jeu ? On la note c telle que

	Pile	Face
Gain (euros)	c	0
Probabilité	40%	60%

On calcule simplement l'espérance: E = c×40% + 0×60% = c×40%, ce qui montre qu'on doit avoir, pour équilibrer ce jeu (donc espérer équilibrer la mise de 1 euro):

E = c×40% = 1 ⇔ c = 1/40% = 2,5

Il faut ainsi avoir une cote de 2,5 pour que ce jeu, avec ces probabilités de gain et de perte, soit équilibré.

On a là la définition de la cote et qu'il faut absolument garder en tête: la cote est calculée pour que le jeu soit mathématiquement, en probabilités, équilibré, avec cette cote correctement calculée, en moyenne il n'y a ni gain ni perte ! (reste à penser à la marge du bookmaker, qui va rogner cet équilibre vers la perte générale … voir après)

Cas général: relation cote / probabilité / gain

Le jeu général se présente ainsi. On mise m avec la cote c: en cas de vitoire on remporte m×c, et on perd notre mise en cas de défaite.
La probabilité de la victoire est p, donc 1−p pour la défaite (0,4 et 1−04 = 0,6 dans l'exemple précédent).

	Pile	Face
Gain (euros)	m×c	0
Probabilité	p	1−p

L'espérance est donc E = m×c×p + 0 et pour que ce jeu soit équilibré, il faut donc que cette espérance soit égale à la mise, soit E = m×c×p = m et qui nous donne la relation fondamentale des paris

c = 1/p

ou encore,

La cote est l'inverse de la probabilité de gain

Cette relation est très couramment citée. Voilà son explication et surtout sa conséquence pour le joueur et parieur: si la cote est correctement calculée par le bookmaker, elle ne permet pas (en moyenne) d'obtenir de gain.

Ce fait est illustré par le simulateur ci-dessous.

Simulateur / calculateur de gain

Dans ce simulateur / calculateur, on peut saisir soit la cote, soit la probabilité de victoire, et l'autre est calculée automatiquement.
On simule alors autant de jeux que souhaité. On mise 1 euro par partie, et la cote donne le gain en cas de victoire.
Pour un petit nombre de parties, on peut espérer gagner (ou perdre !). Par contre, plus le nombre de parties augmente, plus le gain se stabilise clairement autour de l'espérance (essayer avec 1000 parties par exemple). Imaginez un instant si l'espérance était clairement, dès le début, plus petite que la mise totale ! Et c'est exactement ce qui se passe en réalité … avec la marge du bookmaker …

Relations cote / probabilité à connaître

Pour prendre une décision avisée, pour estimer ses chances, débusquer un éventuel value bet ou sure bet, … il faut savoit traduire rapidement, sans calculatrice ni autre outil, les probabilités en cotes et en chances de gain.
Le tableau suivant donne cette correspondance, ou traduction, mathématique des cotes et probabilités usuelles:

Chances	Probabilités	Cotes
1 chance sur 5	20%	5.00
1 chance sur 4	25%	4.00
1 chance sur 3	33%	3.00
1 chance sur 2	50%	2.00
2 chance sur 3	66%	1.50
3 chance sur 4	75%	1.33
4 chance sur 5	80%	1.25