Loi de Poisson: prédiction de résultats et paris sportifs

Formule de Poisson et calculs de probabilités

La loi de Poisson est une loi de probabilité mathématique qui donne une formule de calcul des probabilités de résultats connaissant leur moyenne.
C'est un outil mathématique intéressant qui permet de passer d'un ensemble de données statistiques à des probabilités, donc des prédictions, de résultats.
Associée à une bonne expertise sportive, c'est-à-dire une sélection pertinente des données, la loi de Poisson peut permettre des calculs prédicitfs fiables pour des paris sportifs.

Loi de Poisson

La loi de Poisson est une loi de probabilité utilisée en théorie des statistiques et des probabilités. Cette formule mathématique permet de calculer les probabilités qu'un nombred d'événements se produisent (comme le nombre de buts d'une équipe, ou le nombre de victoires).
Cette loi a été pensée par la mathématicien Siméon Denis Poisson il y a environ deux siècles, en 1837, dans son ouvrage "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile".
En pratique, cette loi de probabilité donne une formule de calcul de la probabilité d'un certain nombre d'occurences d'un événement connaissance le nombre moyen d'occurences.

p(k) = λ^k/k!e^−λ

où

λ est le nombre moyen d'occurence
k! est la factorielle de k, à savoir le produit de tous les entiers inférieurs à k (par exemple, 4! = 4×3×2×1 = 24)
e≃ 2,718, et e^x est l'exponentielle de x

Par exemple, si un événement se produit en moyenne λ=2 fois par semaine, alors la probabilité qu'il se produise 3 fois la semaine prochaine est,

p(3) = 2³/3!e⁻² = 8/6e⁻² ≃ 0,18

c'est-à-dire environ une chance sur cinq (0,20).
De même, si une équipe de foot marque en moyenne deux buts par match, alors elle a aussi environ une chance sur cinq de marquer 3 buts, exactement, au prochain match.

Calculatrice Poisson: calcul des probabilités

Loi de Poisson pour prédire un résultat: probabilité de victoire d'une équipe

Avec la loi de Poisson on peut prédire, c'est-à-dire calculer la probabilité, du nombre de buts que peut marquer une équipe.
Par exemple, si l'équipe A marque en moyenne 2,1 but par match pendant l'année, ou pendant le championnat, et que l'équipe B en marque 1,3 en moyenne, alors vraisemblablement, sans faire de calculs élaborés, on peut dire que l'équipe A a le plus de chance de gagner face à l'équipe B.
Pour un parieur sportif, cette remarque est bien insuffisante. Pour savoir si on va miser ou non sur la rencontre, sur la victoire de l'équipe A ou la victoire de l'équipe B, il faut s'intéresser aux cotes de ces événements et surtout les comparer avec les probabilités qu'on estime, voir cotes et probabilités. Plus techniquement, on cherche à savoir si on est dans une position favorable de value bet.

Il faut pour cela approfondir quelque peu les calculs et résultats donnés par la loi de Poisson. En effet, l'équipe A gagne (par exemple) si elle marque strictment plus de buts que l'équipe B:

si l'équipe A marque 1 but, avec probabilité p = 26%, et l'équipe B marque 0 but, avec la probabilité p = 27%.
La probabilité de cet événement, score 1/0, est p = 26%×27% ≃ 7%
si l'équipe A marque 2 but, avec probabilité p = 27%, et l'équipe B marque 0 but, avec la probabilité p = 27%.
La probabilité de cet événement, score 2/0, est p = 27%×27% ≃ 7,3%
si l'équipe A marque 2 but, avec probabilité p = 27%, et l'équipe B marque 1 but, avec la probabilité p = 35%.
La probabilité de cet événement, score 2/1, est p = 27%×35% ≃ 9,5%
si l'équipe A marque 3 but, …

Finalement, il faut ajouter toutes ces probabilités pour obtenir l'estimation de la probabilité de la victoire de l'équipe A.
On s'intéresse ici en fait à la différence du nombre de buts marqués par les deux équipes, et on calcule la probabilité que cette différence soit strictement positive. La loi de probabilité suivie par la différence de deux variables indépendantes de Poisson est une loi de Skellam de paramètres (λ_A;λ_B).

La calculatrice suivante permet de calculer directement et automatiquement la probabilité de victoire, et la cote correspondante, d'une équipe sur l'autre en indiquant seulement leurs statistiques de nombre de buts moyens.

Calculatrice Poisson: calcul de la probabilité de victoire

Probabilité du match nul

Les matchs nuls sont en général assez sous évalués par les bookmakers, leurs cotes sont ainsi souvent surestimées. Lire par exemple l'article sur la martingale sur les matchs nuls. Cette surestimation provient peut être du fait que les parieurs qui misent sur les matchs nuls sont au final peu nombreux: les parieurs préfèrent miser sur la victoire de leurs équipes favorites. Dans la même idée que le calcul précédent de la victoire de l'équipe A, on peut décomposer les résultats possibles donnant un match nul entre les équipes A et B:

l'équipe A marque 0 but, probabilité p = 12% et l'équipe B marque 0 but, probabilité p = 27%.
On obtient un score nul, 0/0, avec une probabilité p = 12%×27% ≃ 3,2%
l'équipe A marque 1 but, probabilité p = 26% et l'équipe B marque 1 but, probabilité p = 35%.
On obtient un score nul, 0/0, avec une probabilité p = 26%×35% = 9,1%
l'équipe A marque 2 buts, probabilité p = 27% et l'équipe B marque 2 buts, probabilité p = 23%.
On obtient un score nul, 0/0, avec une probabilité p = 27%×23% ≃ 6,2%
…

La probabilité du match nul s'obtient finalement en ajoutant toutes ces probabilités. On trouve dans ce cas une probabilité d'environ p=0,2=20% en utilisant la calculatrice Poisson: probabilité et cote de match nul ci-dessous.

Calculatrice Poisson: calcul de la probabilité du match nul

La calculatrice calcule automatiquement la probabilité du match nul entre deux équipes étant donné le nombre de buts moyens qu'elles ont marqués précédement.
Ces nombres de buts moyens sont les deux paramètres λ_A et λ_B des lois de Poisson qu'on leur associe, et le calcul et alors fait comme expliqué et détaillé dans l'exemple du paragraphe précédent.
La calculatrice calcule aussi automatiquement la cote associée, permettant de se rendre compte immédiatement en comparant avec les cotes fournies par les bookmakers si ce match nul est une situation de value bet.

Un exemple complet: des stats au paris

Je m'intéresse au match de championnat OM Marseille/ RC Strasbourg, à domicile à Marseille. Les cotes sont de 1.72 / 4.00 / 4.40.

Je sélectionne les quelques match précédents déjà joués dans ce championnat ainsi que tous les résultats du championnat de l'année passée. Dans toutes ces statistiques,

lors de ses match à domicile, Marseille a marqué une moyenne de 2,2 buts par match
lors de ses déplacements, Strasbourg a marqué en moyenne 1,1 buts par match

Avec la calculatrice Poisson: probabilité de victoire et les paramètres λ_A = 2,2 et λ_B = 1,1 on trouve une probabilité de victoire pour Marseille de 62%, et donc une cote de 1,6.

En utilisant la Calculatrice Poisson: probabilité du match nul on trouve une probilité de match nul de 20%, qui correspond à une cote de 5,07.

Il reste avec ces données (par soustraction ou en utilisant la calculatrice: probabilité de victoire en inversant les valeurs de λ_A et λ_B), une probabilité de victoire pour Strasbourg de 18% correspondant à une cote de 5,57.

Ces calculs montrent qu'il y a une petite place pour un value bet en misant sur la victoire de Marseille, et qu'il ne faut pas investir ni sur sa défaite ni sur le match nul de ces équipes.

Tout le savoir faire du parieur, son expertise sportive, repose ici sur la bonne sélection des statistiques pour calculer les moyennes de buts, c'est-à-dire sélectionner les résultats des matchs antérieurs qui se sont joués dans des conditions le plus proche possible du match qui nous intéresse: même composition d'équipe, match à domicile ou à l'extérieur, météo, …

Critiques et limites de la loi de Poisson

La loi de Poisson est un modèle prédictif mathématique et probabiliste assez simpliste qui ne prend pas en compte un grand nombre de facteurs. Plus précisément, tous les facteurs sont pris en compte "mélangés" en une seule moyenne: le nombre de buts moyens.
En utilisant la loi de Poisson, on ne prend pas particuièrement en compte des événements récents (une dynamique récente de victoire par exemple, un changement d'entraîneur, de nouveaux recrutements, …) et on exploite des statistiques plus globales (via la moyenne). De même les conditions particulières ne sont a priori pas prises en compte, influence du terrain, match à domicile ou à l'extérieur, …
L'expertise sportive du parieur est alors essentielle: les paris sportifs ne reposent pas que sur du hasard, et on peut sérieusement réfléchir à gagner aux paris sportifs grâce aux maths.

Comment battre les bookmakers en utilisant la loi de Poisson ?

Tout repose sur l'évaluation des paramètres de Poisson λ_A et λ_B des nombres moyens de buts des deux équipes. L'expertise sportive du parieur va ici être de sélectionner les "bonnes statistiques".

Par exemple, si l'équipe A joue à domicile, de ne sélectionner pour le calcul de la moyenne de buts, que les matchs à domicile de l'équipe A et les matchs à l'extérieur de l'équipe B.
si il s'agit d'un match de championnat, de ne sélectionner pour le calcul de la moyenne des buts que les matchs de championnat et ne pas prendre en compte les autres.
…

Hypothèse d'indépendance et autre modélisation

La loi de Poisson peut s'obtenir à partir de la loi binomiale: loi qui permet de calculer la probabilité du nombre de réussites (ou de succès) sur un certain nombre de répétitons d'une expérience aléatoire. Ainsi, comme dans cette loi binomiale, on doit faire l'hypothèse que ces répétitions et réussites sont indépendantes.
On suppose donc pour utiliser la loi de Poisson pour modéliser et prédire des résultats de matchs de foot, que les buts marqués par une équipe sont indépendants les uns des autres, ce qui peut être critiquable…
Quand on cherche à prédire le résultat global d'un match, seulement la victoire ou le match nul et non pas le nombre exact de buts, c'est plutôt la différence du nombre de buts qui nous intéresse. D'autres modèles peuvent alors développés et étudiés.
Par exemple, D. Karlis et I. Ntzoufras ont cherché plus récemment à modéliser cette différence de buts marqués par chaque équipe plutôt que directement les nombres de buts. La distribution de probabilité est alors la loi de Skellam, et il n'est ainsi pour eux pas nécessaire de supposer que les nombres de buts marqués par chaque équipe suivent des lois de Poisson. Bayesian modelling of football outcomes: Using the Skellam's distribution for the goal difference

Conclusion sur l'utilisation de la loi de Poisson dans les paris

Bien sûr cet article a été rédigé pour expliquer la loi de Poisson et son intérêt dans les paris sportifs, et donc devrait vous permettre d'en avoir par vous-même, maintenant, un avis sur sa pertinence ou non.

Plus globalement on peut rappeler qu'une prédiction efficace se fait par deux moyens:

des outils de calculs mathématiques, statistiques et probabilistes, efficaces
et une sélection des données statistiques utilisées pour alimenter les outils de calculs.

La loi de Poisson est une formule de calcul qui rempli très bien son rôle pour la prédiction de résultats futurs, et donc la recherche et la détection de value bet. Il reste maintenant au parieur motivé par des gains à long terme d'éprouver ses connaissances sportives techniques en sélectionnant les bonnes sources statistiques.

Voir aussi: