Martingales

Un pari est par définition risqué: on mise et on peut perdre sa mise ou gagner un gain proportionnel à la mise engagée. On parle ici d'UN pari.

Une martingale est une stratégie de mise sur plusieurs coups, tenant compte en particulier des résultats précédents.
Le but est bien sûr de chercher à augmenter ses (chances de) gain. Le but ultime étant alors de gagner à tous les coups.

Il faut faire attention, être méfiant même, sur les martingales qu'on peut trouver: toutes ne fonctionnent pas, et certaines peuvent même s'avérer (très) dangeureuses si elles sont mal utilisées.

Exemple de martingale inefficace

Pour gagner au loto, certains affirment qu'il est judicieux de jouer les numéros qui ne sont pas beaucoup sortis les derniers temps: comme la probabilité de sortie de chaque numéro est la même, les numéros peu sortis "devront bien rattraper leur retard" et donc dans les jours qui viennent leur probabilité de sortie s'en trouve donc être plus importante.
Ce raisonnement est erroné et faux.
Par exemple, dans le cas simple d'une pièce tirée à pile ou face, avec une pièce équilibrée et la martingale suivante: j'attends systématiquement que trois tirages successifs Pile aient eu lieu, après quoi je mise sur Face. (Bien sûr je peux changer ces trois tirages, par 10, ou 100, tirages). Puisque Pile et Face ont la même probabilité, ils doivent sortir en moyenne aussi souvent, et donc après un certain nombre de tirages consécutifs de Pile, le tirage de Face devient plus probable. Ce raisonnement est faux, et cette martingale (la stratégie de jeu) ne change absolument pas l'espérance: en moyenne mon gain sera nul.

Le raisonnement erroné qui mène à croire qu'après, par exemple, 100 tirages Pile, le tirage Face est plus probable (que Pile, plus que une chance sur deux donc), provient d'une mauvaise utilisation de la loi des grands nombres, qui y est souvent citée comme justification. Lire quelques détails et un exemple à ce sujet.

Martingale classique, ou martingale doublante

En fait, l'exemple précédent est assez général: dans un jeu de hasard, une martingale ne change pas les probabilités et l'espérance.
Il faut adapter les mises pour cela.

La martingale classique (ou martingale doublante) est une stratégie de mise pour un jeu où on mise et, si on gagne on double notre mise (cote = 2), et on perd notre quand on perd.
On mise au tout début par exemple 1 euro, puis à chaque partie:

si on gagne, on est content, et on s'arrête là, la martingale est terminée
si on perd, on mise à la partie suivante le double de la partie précédente.

Ce qui donne:

On mise un euro: si je gagne, je gagne 2 euros, soit 1 euro de gain net.
si je perd, je mise deux euros à la partie suivante, donc 3 euros en tout depuis le début:
- si je gagne, je remporte 2×2 = 4euros, donc 1 euro de gain net.
- si je perd, je mise 4 euros à la partie suivante, donc 7 euros de mise totale depuis le début:
  - si je gagne, je remporte 4×2 = 8 euros, donc toujouts 1 euro de gain net.
  - si je perd, je mise 8 euros, ...

Dès que je gagne, mon gain net est de 1 euro, et comme, si le jeu n'est pas truqué, je vais forcément finir par gagner à un moment, ce gain est assuré. Autrement dit, avec cette stratégie, je gagne à coups sûr 1 euro.
Malheureusement, cette stratégie est dangeureuse car ma mise totale augmente très rapidement (au bout de 10 mises par exemple, je suis à une mise totale de plus de 1000 euros...), et si je m'arrête avant d'avoir reporté mon euro de gain net, j'ai finalement tout simplement perdu mon investissement.
Des détails mathématiques complets se trouvent par exemple sur cette page et où on voit (après de compliqués calculs mathématiques de probabilités) que la somme à investir pour respecter notre martingale et finalement gagner peut non seulement devenir rapidement astronomique, mais aussi que la probabilité que cela arrive n'est pas si faible.

Construire une martingale gagnante

Il faut être clair, une martingale, comme tout pari, toute stratégie, portant sur du hasard reste risquée !
Néanmoins, on peut adapter la martingale classique pour la rendre efficace.
Deux paramètres rendent la martingale classique particulièrement risquée:

Le gain est "seulement" doublé en cas de victoire, ce qui oblige à miser de plus en plus gros pour compenser les pertes des défaites précédentes et donc fait grossir rapidement la mise totale
la probabilité de gain est faible, une chance sur deux ici

Afin de ne pas faire trop grossir la mise totale investie dans les parties successives d'une martingale, il faut donc se concentrer sur ces deux paramètres.
Voici plusieurs possibilités en exemple: