Martingales pour les jeux de hasards

Comprendre et distinguer les stratégies gagnantes à tous les coups des autres

Un pari est par définition risqué: on mise et on peut perdre sa mise ou gagner un gain proportionnel à la mise engagée. On parle ici d'UN pari. Une martingale est une stratégie de mise sur plusieurs coups, tenant compte en particulier des résultats précédents.
Le but est bien sûr de chercher à augmenter ses (chances de) gain. Le but ultime étant alors de gagner à tous les coups.
Pour y arriver, dans une martingale, on adapte correctement la mise à chaque étape. Voilà, tout est dit, toute l'efficacité, ou non, d'une martingale tient dans cete adverbe: correctement.

Il faut faire attention, être méfiant même, sur les martingales qu'on peut trouver: toutes ne fonctionnent pas, et c'est ce que nous allons voir ici.

Exemple de martingale inefficace

Pour gagner au loto, certains affirment qu'il est judicieux de jouer les numéros qui ne sont pas beaucoup sortis les derniers temps: comme la probabilité de sortie de chaque numéro est la même, les numéros peu sortis "devront bien rattraper leur retard" et donc dans les jours qui viennent leur probabilité de sortie s'en trouve donc être plus importante.
Cette pensée revient à affirmer, par exemple, qu'une pièce qu'on a lancé 10 fois en obtenant 10 fois Pile, aura plus de chance au 11ème lancer de tomber sur Face. Ce raisonnement est absolument faux, la pièce ne se souvient pas qu'elle "a fait ça auparavant" (par contre, ce qui est remarquable ici est d'avoir obtenu 10 fois consécutivement Pile…) Les martingales basées sur ce genre de raisonnement prônant l'observation statistique des résultats du hasard, au mieux, ne change absolument pas l'espérance du gain.
Ce raisonnement pour les jeux purs de hasard doit par contre être adaptés au paris sportifs où les statistiques des joueurs et équipes fournissent de précieuses informations (au contraire d'une pièce, un joueur se souvient qu'il a beaucoup gagné, ou non, auparavant, et cela influe sur ses résultats futurs).

Des martingales pour les jeux de hasard

Les martingales ont été développées initialement pour "des jeux de hasard pur", comme des jeux du casino. En particulier, dans ces jeux la règle est simpliste: si on perd, on perd sa mise, et si on gagne on double sa mise.
Cela revient à dire qu'il n'y a que deux résultats, et l'un des deux avec une cote de 2.
De nombreuses martingales, dont la plus célèbre martingale doublante classique ci-dessous, sont inefficaces, voire erronées dans un contexte plus complexe et varié comme celui des paris sportifs où les cotes varient et il peut y avoir plus de deux résultats possibles.

Martingale classique (ou doublante)

Une martingale est donc une stratégie dans laquelle on joue un certain nombre de parties consécutivement en adaptant la mise à chaque partie.
Dans la martingale classique, cette mise est multipliée par 2 après chaque perte. On l'appelle aussi pour cette raison la martingale doublante.

On mise au tout début par exemple 1 euro, puis à chaque partie:

si on gagne, on est content, et on s'arrête là, la martingale est terminée et on récupère notre gain.
si on perd, on mise à la partie suivante le double de la mise de la partie précédente.

Ce qui donne:

On mise un euro: si je gagne, je gagne 2 euros, soit 1 euro de gain net.
si je perd, je mise deux euros à la partie suivante, donc 3 euros en tout depuis le début:
- si je gagne, je remporte 2×2 = 4euros, donc 1 euro de gain net.
- si je perd, je mise 4 euros à la partie suivante, donc 7 euros de mise totale depuis le début:
  - si je gagne, je remporte 4×2 = 8 euros, donc toujouts 1 euro de gain net.
  - si je perd, je mise 8 euros, ...

Dès que je gagne, mon gain net est de 1 euro, et comme, si le jeu n'est pas truqué, je vais forcément finir par gagner à un moment, ce gain est assuré. Autrement dit, avec cette stratégie, je gagne à coups sûr 1 euro.
Malheureusement, cette stratégie est dangeureuse car ma mise totale augmente très rapidement (au bout de 10 mises par exemple, je suis à une mise totale de plus de 1000 euros...), et si je m'arrête avant d'avoir reporté mon euro de gain net, j'ai finalement tout simplement perdu mon investissement qui est de plus très important pour un gain qui paraît, lui, de plus en plus ridicule: 1 seul euro…

Des détails mathématiques complets se trouvent par exemple sur cette page et où on voit (après de compliqués calculs mathématiques de probabilités) que la somme à investir pour respecter notre martingale et finalement gagner peut non seulement devenir rapidement astronomique, mais aussi que la probabilité que cela arrive n'est pas si faible.

La martingale de Fibonacci-Whittacker

Je l'ai annoncé: ces martingales pensées pour les jeux de hasard pur ne sont pas à appliquer directement au monde des paris sportifs.
La martingale de Fibonacci-Whittacker suit cette règle. Elle est intéressante et amusante à étudier, d'où sa place ici, mais il n'est pas conseillé de l'utiliser en l'état. Ne serait-ce que, parce qu'ici aussi, elle suppose de jouer à un jeu où la mise est doublée en cas de gain (cote = 2).
Je la détaille aussi pour ceux qui auraient des penchants ésotériques, mystiques, …
En effet la célèbre suite de Fibonacci inspire depuis bien des siècles, et on n'arrête pas de la retrouver à gauche et à droite. De là à penser qu'elle renferme un secret, une structure divine (elle est liée au nombre d'or: la proportion divine !) qui permettrait de surmonter le hasard …
Cette célèbre suite de Fibonacci (datant du début du 13ème siècle, et énoncée dans un petit problème récréatif), commence ainsi

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - …

Chaque nombre de la suite s'obtient an ajoutant les deux précédents. On utilise cette séquence pour miser successivement selon les trois règles:

en cas de perte à un tour, on mise le nombre suivant dans la suite de Fibonacci
en cas de gain, on revient deux crans en arrières pour la mise du tour suivant
si on a un gain global positif, on arrête et on peut reprendre la martingale du début

C'est aussi l'idée de la martingale dont on tire dans cette suite celle des mises successives, résumées dans le tableau suivant

Partie №	Mise	Mise totale	Gain
1	1	1	2
2	2	3	4
3	3	6	6
4	5	11	10
5	8	19	16
6	13	32	26

Gains et risque de la martingale Fibonacci-Whittacker

Dans la martingale de Fibonacci on annule par une victoire les deux dernières pertes engendrées. La progression des mises dans cette martingale est donc moins rapide que pour la martingale classique dans laquelle on cherche systématiquement, à chaque tour, à annuler l'ensemble des mises engagées jusque là.
Finalement, si la martingale de Fibonacci peut être très rentable sur le court terme, elle en reste néanmoins très risquée dès que quelques pertes s'enchaînent, et mène comme la martingale classique, au bout de quelques parties, à un gain qui paraît finalement assez faible comparé aux mises engagées.

Enfin on ne peut pas laisser cette martingale sans parler du nombre d'or. On trouve celui dans la suite de Fibonacci on calculant le rapport de deux termes consécutifs, "assez loin dans la suite" (plus précisément lorsque n tend vers l'infini).
Cela signifie qu'en avançant dans cette suite, on tend à multiplier un terme par le nombre d'or φ≃1,61 d'un terme au suivant, donc d'un montant d'une mise à la suivante.
Pour la martingale classique, on multiplie par 2 entre chaque mise, ce qui explique que dans la martingale de Fibonacci l'augmentation des mises est moins brutale, plus modérée.

Encore d'autres martingales

Oui, il y en a encore bien d'autres: la grande martingale, les martingales paroli, la martingale d'Alembert, la martingale Labouchère, …
Toutes ces martingales plus ou moins célèbres ont en commun d'être des stratégies gagnantes (mais néanmoins risquées comme on l'a bien vu) pour des jeux de hasard pur où la mise est doublée en cas de victoire. Dans les paris sportifs, elle n'ont donc qu'une utilité très pédagogique: comprendre leur fonctionnement afin d'être capable de mieux s'adapter.

Construire une martingale gagnante

Deux paramètres rendent les martingales classiques particulièrement risquées:

Le gain est "seulement" doublé en cas de victoire, ce qui oblige à miser de plus en plus gros pour compenser les pertes des défaites précédentes et donc fait grossir rapidement la mise totale
la probabilité de gain est faible, une chance sur deux ici

Afin de ne pas faire trop grossir la mise totale investie dans les parties successives d'une martingale, il faut donc se concentrer sur ces deux paramètres.
Voici plusieurs possibilités de martingales spécifiquement et mathématiquement développées pour les paris sportifs avec des cotes variables:
L'idéal, en terme de martingale étant, une fois avoir bien saisi les enjeux, risques et difficultés, de pouvoir se créer ses propres martingales.
Le simulateur automatique pour faire sa martingale est pour cela un outil simple et incontournable.