Simulation de paris avec et sans le critère de Kelly
Mise optimale pour un gain maximum
Critère de Kelly
Le critère de Kelly donne, en fonction de la cote et la probabilité réelle estimée de gain, la part de sa bankroll à miser (ou de son capital à investir) pour obtenir le rendement maximal théorique.Ce rendement théorique est bien sûr de nature probabiliste et, de même que pour la notion fondamentale d'espérance mathématique, il faut le comprendre ainsi: si on parie un grand nombre de fois sur cet événement, c'est en pariant à chaque fois cette "proportion Kelly" de notre bankroll qu'à terme on aura la bankroll la plus élevée, plus élevée qu'avec tout autre mise (une mise fixe, ou une autre proportion de la bankroll).
Ces éléments se trouve bien sûr dans la preuve mathématique de cette formule de Kelly.
Pour bien se rendre compte, et donc bien comprendre, l'intérêt de l'utilisation de cette formule de Kelly, on compare dans le simulateur suivant l'effet à long terme de l'utilisation de la formule de Kelly comparée à deux autres types de mises:
- Mise fixe: on mise toujours le même montant, indépendamment de notre bankroll
- Pourcentage fixe: on mise toujours le même pourcentage de notre bankroll, indépendamment là aussi de notre bankroll.
Cette méthode est souvent préconisée pour les parieurs fréquents, afin notamment d'éviter la banqueroute. En générale, on conseille de ne pas parier plus de quelques pourcents de sa bankroll à chaque mise (2% par défaut dans le simulateur suivant). Cela permet notamment de pouvoir supporter des bad beats et autres séries noires de pertes.
Le critère de Kelly est une stratégie de pourcentage fixe, avec la particularité que ce pourcentage à été calculé exactement afin d'obtenir un rendement global maximal.
Simulation et comparatif de la méthode Kelly et des deux autres stratégies
Faire varier les différentes grandeurs de la simulation: bankroll (ou capital) initial, cote de l'événement et probabilité réelle estimée, ainsi que les caractéristiques des deux autres stratégies que l'on veut comparer: pourcentage fixe ou mise fixe.Le graphique obtenu montre l'évolution de la bankroll en fonction du nombre de mises successives. Le long terme est considéré dans la formule de Kelly: ne pas hésiter à simuler un "plus grand nombre" de parties.
Discussion et application de la méthode de Kelly
Assez clairement sur le long terme, utiliser la formule de Kelly pour proportionner exactement sa mise en fonction de sa bankroll mène à une bankroll plus élevée comparée aux deux autres stratégies. Il suffit d'augmenter le nombre de parties pour s'apercevoir que les deux autres méthodes se trouvent rapidement et assez largement distancées.On se rappelle que, en termes mathématiques, et dans la démonstration de la formule de Kelly, ce grand nombre signifie exactement "à la limite où ce nombre tend vers l'infini"…
Néanmoins, sur un petit nombre de paris, l'utilisation de la proportion Kelly n'est pas aussi convaincante.
On doit ajouter à cela, que la probabilité "réelle" de gain, paramètre central dans la formule de Kelly, est difficile à estimer.
Ainsi, pour un grand nombre de paris (des centaines, des milliers, plus, …) la connaissance et l'utilisation de la formule de Kelly est incontournable, par exemple, pour qui veut placer des paris ou investissements en très grande quantité, informatiquement, le trading haute fréquence en est un exemple typique.
Par contre, pour le parieur plus modeste…
Cette formule reste fondamentalement intéressante et à connaître par tout parieur désireux de gagner sur le long terme.
- le premier enseignement de cette formule est l'intérêt de miser un pourcentage de sa bankroll, pourcentage faible (quelques petits pourcents), et fixe pourquoi pas.
La formule de Kelly est alors une aide pour estimer quel pourcentage miser. - deuxièmement, cette formule permet de cadrer ses mises:
- éviter un optimisme démesuré par excès d'enthousiasme qui conduit à une mise exagéremment élevée: ne jamais miser la totalité de sa bankroll ! (ni même la moitié).
Les gains se font sur le long terme. - éviter, à l'inverse, de ne pas verser dans un pessimisme qui confinerait à des mises exagérement basse même dans une situation réellement avantageuse.
- éviter un optimisme démesuré par excès d'enthousiasme qui conduit à une mise exagéremment élevée: ne jamais miser la totalité de sa bankroll ! (ni même la moitié).
Formule mathématique du critère de Kelly
On rappelle pour finir la formule mathématique qui permet le calcul de la proportion Kelly f *, calculée automatiquement dans le simulateur de cette page.L'utilisation du critère de Kelly donne le rendement maximal théorique sur l'ensemble des paris.
L'expression mathématique de cette formule est
f * = p −
qc − 1
où
- p est la probabilité de la victoire estimée
- q = 1 − p est la probabilité de perte estimée
- c est la cote de la victoire
Cette calculatrice permet de calculer automatiquement l'excate proportion Kelly en fonction des caractéristiques du pari.
Voir aussi les détails et preuve mathématiques de cette formule
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