Écart type mathématique & évaluation de risque

L'espérance mathématique est la valeur que l'on s'attend à obtenir, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Plus précisément, l'espérance est une estimation de la moyenne des gains obtenus sur un grand nombre de mises et jeux.
Si on sait ainsi à quoi s'attendre, sur le gain moyen après un certain nombre de mises, on ne donne là aucune estimation du risque pris: avant de tendre vers la valeur moyenne espérée, vais-je risquer de perdre une fois, 2 fois, 10 fois ou 100 fois plus ? (et à l'inverse espérer gagner passagèrement une fois, 2 fois, 10 fois plus ?).
Une autre question courante du joueur: dans un jeu risqué dont l'espérance est de 10 euros, un joueur gagne après de multiples parties 12 euros. Doit-il continuer à jouer ? au risque de tout perdre, ou aussi bien sûr de gagner encore plus ? C'est l'écart type du jeu en question qui permet de répondre mathématiquement à cette question de l'arrêt du jeu.

L'essentiel:

L'écart-type mesure la dispersion d'un jeu de données par rapport à sa moyenne, ou en termes de probabilités, la dispersion de résultats aléatoires par rapport à leur espérance.
Dans un contexte financier, un actif présentant un écart-type important est dit très volatile, alors qu'un actif dont l'écart-type est faible est reconnu comme étant stable.
Dans un jeu de hasard ou un investissement financier, un écart type élevé est synonyme à la fois de risque: les pertes peuvent être importantes avant de rejoindre l'espérance, et à la fois de gain important puisqu'on peut aussi passer par des gains très importants avant de revenir, en moyenne, au niveau de l'espérance.

Définition de l'écart-type

En statistique, l'écart type est un indicateur mesurant la dispersion d'un jeu de données.
En probabilité, l'écart type est un indicateur estimant la dispersion probable des résultats.
L'écart type indique dans quelle mesure les données ou résultats aléatoires s'écarte de leur moyenne: un écart type important pour une grande dispersion, une grande amplitude de variation autour de la moyenne. Inversement, un écart type très faible décrit des variations très faibles, donc très peu de risque, d'inatendu.
Dans la recherche d'une stratégie de jeu gagnante à long terme, on se concentre tout d'abord sur l'espérance mathématique: le gain moyen, ou ROC. Connaître l'écart type de notre stratégie est tout aussi interessant car il fournit un indicateur de stabilité, qui est un indicateur fondemental dans la recherche de gains à long termes.

Formule mathématique de calcul de l'espérance

Pour calculer l'écart type, c'est-à-dire donc la dispersion ou le risque pris par rapport à la moyenne espérée, il faut tout d'abord calculer cette moyenne ou espérance.
On reprend pour expliquer ces calculs l'exemple du jeu utilisé pour le calcul de l'espérance: on mise un euro et on lance un dé à six faces équilibré et

si on obtient un 6 on gagne 5 fois notre mise
si on obtient un 5 on gagne 2 fois notre mise
sinon, on perd notre mise

qui se résume par le tableau des gains suivant

Gain (euros)	5	2	0
Probabilité	1/6	1/6	4/6

L'espérance mathématique se calcule comme la moyenne pondérée par les probabilités

E = 1/6×5 + 1/6×2 + 4/6×0 ≃ 1,16

et on espére donc gagner en moyenne environ 1,16 centimes par partie sur un nombre important de parties, soit 0,16 centimes de gains nets, c'est-à-dire de gain en plus de notre mise investie.

Formule mathématique de calcul de la variance et de l'écart type

Pour calculer l'écart type, on calcule tout d'abord la variance, qui est la "moyenne des carrés des écarts à la moyenne", ici

V = 1/6×(5−1,16)² + 1/6×(2−1,16)² + 4/6×(0−1,16)² ≃2,8

Ensuite, l'écart type est la racine carrée de la vaiance:

σ = √V ≃ 1,7

Le calcul de l'espérance et l'écart type n'est pas des plus passionnants, et la calculette suivante fournit un simulateur de gain à un jeu de hasard comme des paris sportifs, et calcule justement l'espérance et l'écart type et fait une simulation du gain sur un certain nombre de parties.

Dans l'exemple du jeu précédent, sur par exemple 100 parties, on peut espérer gagner environ 100×E≃116 euros.
Les fluctuations seront de l'ordre de quelques écarts types, 2 écarts types, soit environ 5 euros.

Simulation du jeu aléatoire et des gains

Le simulateur suivant simule, au hasard, un jeu avec n résultats possibles (3 dans l'exemple précédent du dé), et pour lequel on peut librement indiquer le gain associé à chaque résultat ainsi que la probabilité du résultat en question.
On visualise ainsi, sur un certain nombre de parties simulées au hasard, le gain qu'on peut espérer.
Plus le nombre de parties augmente, plus le gain total se stabilise autour de l'espérance: pour un grand nombre de parties, on ne doit pas s'attendre à un gain (ni une perte) très importante par rapport à l'espérance calculée.

Simulateur

La connaissance de l'écart type permet en outre de répondre mathématiquement à deux questions fondamentales dans une répétition de jeux de hasard.

Estimer combien je peux perdre

Dans un jeu de hasard, on peut considérer qu'on a définitivement perdu lorsque notre tapis, notre bankroll, notre cagnotte, ... bref qu'on a plus de quoi jouer une nouvelle partie.
Pour éviter que cela arrive, si on ne peut pas prévoir les pertes futures (c'est du hasard ! c'est impossible avec certitude !) on peut du moins les estimer.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une formule mathématique qui permet justement d'estimer la probabilité de la dispersion des résultats aléatoires.
En résumé, cette formule nous dit que la probabilité d'être écarté de la moyenne de plus de k fois l'écart type est inférieure à l'inverse du carré de k.
Par exemple, si le gain moyen espéré est de 10 euros et l'écart type est de 2 euros,

la probabilité d'avoir un gain inférieur à 6 euros ou de plus de 14 euros est plus petite que 1/4 = 25 %
la probabilité d'avoir un gain inférieur à 4 euros ou de plus de 16 euros est plus petite que 1/9 ≃ 11 %
la probabilité d'avoir un gain inférieur à 2 euros ou de plus de 18 euros est plus petite que 1/16 ≃ 6 %
et enfin, pour 5 écart type, la probabilité d'avoir un gain inférieur à 0 euros (perte net) ou de plus de 20 euros est plus petite que 1/25 ≃ 4 %
…

Ainsi, pour une bonne estimation de la mise maximale que je peux me permettre, je dois compter être capable de perdre quelques écarts types.
Le simulateur de paris précédente calcule la moyenne (espérance mathématique) et écart type: essayer de jouer (gratuitement et sans risque !) avec pour observer l'influence de la valeur de l'écart type sur les flucuations de gains autour de la moyenne.

Estimer mathématiquement "quand s'arrêter"

Avec l'exemple précédent: gain espéré de 10 euros et écart type de 2 euros, on vu aussi que la probabilité de gagner plus de plus de 14 euros, plus de 16 euros, plus de 18 euros ... a une probabilité qui diminue rapidement(environ 25%, 11%, 6 %, ...).
Ainsi, s'il est grisant de gagner à un jeu de hasard, il faut aussi s'avoir s'arrêter, c'est-à-dire rationnellement être capable d'estimer le meilleur moment, celui avec le gain le plus important où il juste arrêter et partir et profiter de ses gains.

Là aussi, l'écart type est la formule mathématique qui répond à cette question: la probabilité de gagner plus de 3 écarts types au dessus de la moyenne devient de quelques pourcents, et donc dans une stratégie raisonnable il faudrait arrêter une série à un jeu lorsqu'on a atteint 2 ou 3 écarts types au dessus de la moyenne espérée.

En résumé, toujours par exemple avec un jeu dont l'espérance est de 10 euros et l'écart type de 2 euros:

je dois pouvoir m'attendre, dans une série noire, à perdre quelques écarts types, au moins 5, soit 10 euros de perte (quelques pourcents de chance: cela peut et va arriver, ne pas y compter est une erreur)
après une série gagnante me permettant d'arriver à un gain moyen de 14 euros, je dois arrêter de jouer à ce jeu

Voir aussi: