Martingale sur un perdant

Une martingale est une stratégie de mises successives assurant toujours un gain net. Le risque majeur d'une martingale est une éventuelle longue série de pertes qui obligerait alors à investir des mises très (trop ?) importantes.
Les paris sportifs ne sont pas des jeux purement de hasard (voir aussi paris sportifs et maths) et il est possible d'allier des connaissances sportives spécifiques aux mathématiques. On donne ici un tel exemple, d'une martingale mathématique construite en suivant un (futur) perdant.

On s'intéresse donc à un joueur qui ne va pas, à coup sûr, gagner le tournoi, ou à une équipe qui ne va pas, à coup sûr, gagner tous les matchs du championnat.
Bien sûr la probabilité nulle n'existe pas, mais on peut prendre par exemple un joueur de tennis français dans un tournoi du grand chelem (ou bien d'autres joueurs, le choix est vaste), ou une équipe de foot d'au moins (ou en dessous) de milieu de classement l'an passé.

L'idée est, comme la martingale classique, de faire une première mise, puis à chaque perte éventuelle, de faire une autre mise qui aura pour but en cas de gain de rembourser les pertes précédentes et d'assurer un gain net.
On va miser, toujours, sur la défaite de notre joueur ou de notre équipe, qui a été choisi justement pour être sûr que cette défaite arrive au bout de quelques matchs au maximum.
Disons, par exemple, qu'on mise au tout début une mise de 10 euros.

Au premier match, si la défaite à effectivement lieu, on a gagné, et on arrête là.
Sinon, on va miser sur la défaite à la rencontre suivante, en calculant la mise pour que, en cas de défaite cette fois, notre gain net soit de 10 euros (on rembourse les pertes des deux premières mises, et on fait un gain bénéfice de plus).
Si à cette deuxième rencontre il y a défaite: on empoche un gain de 10 euros, sinon on va calculer la mise de la 3ème rencontre, avec les même objectifs que précédent.
…

On appelle FL ensuite notre joueur ou équipe voué à perdre prochainement (FL pour Fuzzy Loser, ou perdant flou, approximatif, ou encore moins poliment pour F…in' Loser).
On note à chaque fois m_i la mise et c_i la cote pour la défaite de FL (ou la cote de l'adversaire, peu importe la possibilité d'un éventuel nul: on mise sur sa défaite).

m₁ c₁ m₂ c₂ m₃ c₃

On mise donc, pour commencer, la mise m₁ euros.

Si FL perd, on gagne notre pari, on est content, et on s'arrête là.
Si FL gagne, nous on perd notre mise, et on va miser à nouveau sur la défaite de FL, de manière à ce que, en cas de défaite effective, on gagne un gain G euros net (donc en plus du remboursement des deux mises).
En cas de défaite, le gain brut est m₂×c₂, auquel on retire les deux mises pour s'intéresser au gain net:
G_Net = m₂×c₂ − m₂ − m₁
et on a dit qu'on recherche à faire en sorte que ce gain net soit de G euros.
On a alors
G_Net = G ⇔ m₂×c₂ − m₂ − m₁ = G ⇔ m₂ = G + m₁/c₂−1
En cas de défaite donc de FL à ce deuxième match, on remporte donc G euros net, on est content et on arrête là.
Sinon, on vient aussi de perdre m₂ et on s'apprête à miser m₃ au troisième match sur la défaite de FL et dans le but de gagner toujours G euros.
Si FL perd, on gagne m₃×c₃ auquel on retranche nos mises perdues précédentes pour arriver au gain net:
G_Net = m₃×c₃ − m₃ − m₂ − m₁
et on veut toujours gagner G euros, soit
G_Net = G ⇔ m₃×c₃ − m₃ − m₂ − m₁ = G ⇔ m₃ = G + m₁ + m₂/c₃−1
et ainsi de suite … avec la quatrième mise de
m₄ = G + m₁ + m₂ + m₃/c₄−1

…

Exemple de mises pour une martingale et probabilités pertes

Le tableau suivant donne un exemple d'évolution des mises successives d'une martingale qui a pour objectif de remporter 10 euros à coup sûr, selon des cotes successives.
La probabilité de perte, perte de toutes les parties successives jusqu'à la mise considérée, est aussi donnée.
La cote pour la défaite de notre perdant FL diminue, sa probabilité de perdre augmentant. Par exemple:

Partie №	Cote	Mise	Probabilité de perte
1	2	10	50%
2	1,8	25	22%
3	1,4	112,5	6%
4	1,3	525	1%

La probabilité de perdre très rapidement très faible, mais il faut pouvoir supporter une victoire supplémentaire inatendue.
Le calculateur suivant

permet de calculer les mises successives pour une martingale avec d'autres cotes / probabilités.

Calculateur des mises

Une martingale peut vite se révéler impossible à suivre, à cause de la hausse des mises, d'un tour à l'autre, qui peut être vertigineuse. Des détails mathématiques complets se trouvent par exemple sur cette page et où on voit (après de compliqués calculs mathématiques de probabilités) que la somme a investir pour respecter notre martingale et finalement gagner peut devenir rapidement astronomique si on perd quelques tours de plus.
Il est ainsi très important:

de choisir un joueur / une équipe qui va perdre rapidement (très faisable en pratique: peu d'équipes de foot encaînent plusieurs victoires consécutivement; beaucoup de joueurs "moyens" au tennis ne vont très certainement pas passer plusieurs tours dans des tournois renommés).
estimer les mises successives dès le début afin de s'assurer qu'on pourra suivre financièrement: arrêter une martingale en cours de route, avant le gain, signifie perdre plusieurs mises, éventuellement importantes.
Le calculateur suivant permet d'estimer les mises successives pour la martingale présentée ci-dessus.

La mise à investir dépend directement de la cote. Pour une cote de 2, il faut doubler la mise précédente, et perdue, afin d'assurer un gain net. Si la cote est inférieure à 2, ce qui est certainement le cas pour un futur joueur ou équipe perdant, la mise doit alors être plus que doublée.
Il peut être intéressant de suivre des martingales avec des cotes plus faibles, ce qui est le cas par exemple pour une martingale sur des matchs nuls puisque ceux-ci ont justement, asse souvent, une cote d'environ 3.

Autres éléments sur les martingales: